Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=$\sqrt{2}$，AB=AD=1，BC=2，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$．
（I）求證：平面PAC⊥平面PDE
（II）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系$\{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}\}$，利用向量法能證明平面PAC⊥平面PDE．
（2）求出平面PDE的法向量，利用向師法能求出直線PC與平面PDE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
建立空間直角坐標(biāo)系$\{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}\}$，
則$B（{1，0，0}），C（{1，2，0}），D（{0，1，0}），P（{0，0，\sqrt{2}}），E（{1，\frac{1}{2}，0}）$，（2分）
$\overrightarrow{DE}=（{1，-\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{AC}=（{1，2，0}）$，
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AC}=0$，∴DE⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DE，（4分）
∴DE⊥平面PAC，DE?平面PDE，
∴平面PAC⊥平面PDE．（6分）
解：（2）設(shè)平面PDE的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
$\overrightarrow{PD}=（{0，1，-\sqrt{2}}），\overrightarrow{DE}=（{1，-\frac{1}{2}，0}）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}}\right.∴\overrightarrow n=（{1，2，\sqrt{2}}）$，（9分）
$\overrightarrow{PC}=（{1，2，-\sqrt{2}}）$
設(shè)直線PC與平面PDE所成角為θ，
$sinθ=|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PC}＞|=\frac{1+4-2}{{\sqrt{7}×\sqrt{7}}}=\frac{3}{7}$，
∴直線PC與平面PDE所成角的正弦值為$\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．