Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）求證：f（x）+f（2a-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）若函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（3，b），求a+b的值．
（3）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?span id="5aosvtr" class="MathJye">[a+

1

2

，a+1]時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的圖象與圖象變化

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）+f（2a-x）+2=

x+1-a

a-x

+

(2a-x)+1-a

a-(2a-x)

+2=

2x-2a

a-x

+2=0；
（2）由題意f（x）+f（6-x）-2b=0，化簡(jiǎn)可得2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a²b=0，從而求a+b；
（3）由分離常數(shù)法求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）證明：f（x）+f（2a-x）+2=

x+1-a

a-x

+

(2a-x)+1-a

a-(2a-x)

+2，
=

2x-2a

a-x

+2=-2+2=0；
（2）∵函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（3，b），
∴f（x）+f（6-x）-2b=0，
即

x+1-a

a-x

+

6-x+1-a

a-(6-x)

-2b=0，
（x+1-a）（a-6+x）+（7-a-x）（a-x）-2b（a-x）（a-6+x）=0，
即2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a²b=0，
即b=-1，a=

3

7

，
則a+b=-

4

7

，
（3）證明：f（x）=

x+1-a

a-x

=-1+

1

a-x

，
∵f（x）的定義域?yàn)?span id="paecgoh" class="MathJye">[a+

1

2

，a+1]，
∴-1≤a-x≤-

1

2

，
∴-2≤

1

a-x

≤-1，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
即f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于中檔題．