Question

設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：(1)f(－1)＝f(1)＝0；(2)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；

(Ⅲ)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x， 　　即x－1≤f(x)≤1－x． 　　(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]， 　　當(dāng)|u－v|≤1時(shí)，有|f(u)－f(v)|≤|u－v|≤1． 　　當(dāng)|u－v|＞1時(shí)，u·v＜0，不妨設(shè)u＜0，則v＞0且v－u＞1． 　　所以|f(u)－f(v)|≤|f(u)－f(1)|＋|f(v)－f(1)|≤|u＋1|＋|v－1|＝1＋u＋1－v＝2－(v－u)＜1． 　　綜上可知，對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1． 　　(Ⅲ)解：滿足所述條件的函數(shù)不存在，理由如下： 　　假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由 　　|f(u)－f(v)|＝|u－v|，u，v∈[，1]得 　　|f()－f(1)|＝|－1|＝． 　　又f(1)＝0，所以|f()|＝．　�、� 　　又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0．由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]得 　　|f()|＝|f()－f(0)|＜．　�、� 　�、倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．