Question

10．已知 a＞0，b＞0，雙曲線 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，圓C₂：x ²+y ²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，若雙曲線C₁的漸近線與圓C₂相切，則雙曲線 C₁ 的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得漸近線方程，圓C₂的圓心為（a，0），半徑為$\frac{1}{2}$a，因此圓心為（a，0）到漸近線方程為ax±by=0的距離為$\frac{1}{2}$a，由點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率

解答 解：由雙曲線雙曲線 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為ax±by=0，
圓C₂：x ²+y ²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，即為（x-a）²+y²=$\frac{1}{4}$a²的圓心為（a，0），半徑為$\frac{1}{2}$a，
由題意可知：圓心為（a，0）到漸近線方程為ax±by=0的距離為$\frac{1}{2}$a，
即$\frac{|{a}^{2}±0|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{1}{2}$a，整理得：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=4，即e=$\frac{c}{a}$=2
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的漸近線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．