Question

14．數列{a_n}的前項n和為S_n，S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1
（1）設b_n=a_n+n，證明：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）求數列{a_n}的前3項，從而猜想數列的通項公式，利用數學歸納法證明即可．
（2）由（1）知nb_n=n，從而利用等差數列求和公式求和．

解答 （1）證明：當n=1時，∵S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，
∴a₁+a₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+1=0，
∴a₁=0，b₁=0+1=1；
當n=2時，同理解得，a₂=-1，b₁=-1+2=1；
當n=3時，同理解得，a₃=-2，b₁=-2+3=1；
假設當n=k，（k≥2）時，a_k=1-k，
則S_k=$\frac{0+1-k}{2}$•k，
則S_k+a_k+1+a_k+1=-$\frac{1}{2}$（k+1）²-$\frac{1}{2}$（k+1）+1，
解得，a_k+1=-k=1-（k+1），
綜上所述，a_n=1-n，
故b_n=a_n+n=1-n+n=1，
故數列{b_n}是等比數列；
（2）解：nb_n=n，
故T_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的判斷與應用，同時考查了數學歸納法的應用．