Question

19．已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABD=30°，點E、F分別在邊BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=-9，則λ的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．由題意可得A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（3，0），D（0，-3$\sqrt{3}$），運用向量共線的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程即可得到所求值．

解答 解：以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
由題意菱形ABCD的邊長為6，∠ABD=30°，
可得A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（3，0），D（0，-3$\sqrt{3}$），
BC=2BE，可得E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
CD=λCF，即有（-3，-3$\sqrt{3}$）=λ（x_F-3，y_F-0），
可得F（$\frac{3λ-3}{λ}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$），
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=-9，可得
（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）•（$\frac{3λ-3}{λ}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$-3$\sqrt{3}$）=-9，
即有$\frac{9}{2}$•$\frac{3λ-3}{λ}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$-3$\sqrt{3}$）=-9，
解得λ=3．
故選：B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時考查向量共線的坐標(biāo)表示，運用向量的問題坐標(biāo)化是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．