如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

(1)詳見(jiàn)解析；（2）

解析試題分析：（1）要證明兩個(gè)平面垂直，一種方法是只需在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的一條垂線：另一種方法是可利用若∥，則，由題可知面，則，再證明,則面，從而平面⊥平面；（2）求二面角大小，可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（需在圖中找兩兩相交且垂直的三條直線，先求兩個(gè)半平面的法向量的夾角，從而可確定二面角的大小.
試題解析：(1)∵面，∴，又,所以面，∴，在直角梯形中，設(shè)，則，所以，又,所以面，又面，∴平面⊥平面；
（2）法一）由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則,設(shè)面的法向量，則
則，令，∴，面的法向量，設(shè)的夾角為，所以，所以二面角的余弦值為.
法二）由（1）知面，∴就是二面角的平面角，在中，所以.
考點(diǎn)：1、面面垂直的判定；2、二面角的求法.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面B1CD；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置，并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是正方形，，且，、、分別是線段、、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求異面直線、所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點(diǎn)。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn)，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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