Question

5．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow a}|=1$，則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；求出|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，利用平面向量數(shù)量積的夾角公式求出夾角的大�。�

解答 解：非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow a}|=1$，
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
畫出圖形如圖所示；

∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=1²-${（\sqrt{3}）}^{2}$=-2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-2}{2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角的取值范圍為[0，π]，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角公式的應用問題，是基礎題．