Question

（2009•大連一模）一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次出現(xiàn)一個(gè)6位的二進(jìn)制數(shù)a₁a₂a₃a₄a₅a₆恒為1，a_i和a_j（i≠j，i，j∈{2，3，4，5，6}）之間出現(xiàn)1或0是相互獨(dú)立的，且a_i出現(xiàn)1的概率為

1

3

，出現(xiàn)0的概率為

2

3

設(shè)X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆，當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)．
（I）求X=4的概率；
（II）求X的期望．
[注：E（ax+b）=aex+b]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得X=4，即a_i（i∈{2，3，4，5，6}）中出現(xiàn)3個(gè)1，2個(gè)0，從而P（X=4）=C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2，由此能求出X=4的概率．
（Ⅱ）設(shè)Y=X-1，由題知  Y～B（5，

1

3

），根據(jù)E（aX+b）=aEX+b，由此能求出X的期望．

解答：解：（I）X=4，即a_i（i∈{2，3，4，5，6}）中出現(xiàn)3個(gè)1，2個(gè)0         （2分）
所以P（X=4）=C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

243

      （6分）
（II）設(shè)Y=X-1，
由題知  Y～B（5，

1

3

）      （9分）
所以EX=EY+1=

8

3

    （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的概率和數(shù)學(xué)期望，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．