Question

1．求過兩圓x²+y²-1=0和x²-4x+y²=0的交點，且與直線x-$\sqrt{3}$y-6=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析 設所求圓的方程為x²+y²-1+λ（x²-4x+y²）=0，利用與直線x-$\sqrt{3}$y-6=0相切，求出λ，即可得出結論．

解答 解：設所求圓的方程為x²+y²-1+λ（x²-4x+y²）=0（λ≠-1），
即（1+λ）x²+（1+λ）y²-4λx-1=0．
∴x²+y²-$\frac{4λ}{1+λ}x-\frac{1}{1+λ}$=0．
∴圓心為（$\frac{2λ}{1+λ}$，0），半徑$r=\frac{{\sqrt{{{（{\frac{4λ}{1+λ}}）}^2}+\frac{4}{1+λ}}}}{2}$，
∴$r=\frac{{\sqrt{{{（{\frac{4λ}{1+λ}}）}^2}+\frac{4}{1+λ}}}}{2}$=$\frac{|\frac{2λ}{1+λ}-6|}{2}$，
∴$\frac{{4{λ^2}}}{{{{（1+λ）}^2}}}-\frac{24λ}{1+λ}+36=\frac{{16{λ^2}}}{{{{（1+λ）}^2}}}+\frac{4}{1+λ}$，
解得$λ=-\frac{8}{11}$．
又∵圓x²-4x+y²=0與直線x-$\sqrt{3}y$-6=0相切，
∴所求圓的方程為3x²+3y²+32x-11=0或x²+y²-4x=0．

點評 本題考查圓與圓的位置關系，考查圓的方程，屬于中檔題．