如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

(1)見試題解析；（2）.

解析試題分析：（I）要證明平面，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與直線平行的直線，本題就想是否有一個(gè)過直線的平面與平面相交，交線就是我們要找的平行直線（可根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知），在圖形中可容易看出應(yīng)該就是平面，只不過再想一下，交線到底是什么而已，當(dāng)然具體輔助線的作法也可換成另一種說法（即試題解析中的直接取中點(diǎn)，然后連接的方法）；（2）由于平面，所以三棱錐的體積可以很快求出，從而本題可用體積法求點(diǎn)到平面的距離，另外由于，如果取中點(diǎn)，則有，從而可得平面，也即平面平面，這時(shí)點(diǎn)到平面的垂線段可很快作出，從而迅速求出結(jié)論.
試題解析：（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．

由已知得且，
又是的中點(diǎn)，則且，是平行四邊形， ∴
又平面，平面 平面
（II）設(shè)平面的距離為，
【法一】：因平面，故為與平面所成角，所以，
所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．
作于，因，則
，
則，
因所以
【法二】因

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐底面是平行四邊形，面面,,,分別為的中點(diǎn).

（1）求證：
（2）求證：
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，已知，，．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)點(diǎn)在棱上，當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面B1CD；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn)，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

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