如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得平面，從而，結(jié)合,證出平面，從而得到；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/36/b/l2jzd1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以直線與平面夾角即直線與平面夾角
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸，設(shè)平面的一個(gè)法向量，通過計(jì)算求出，與的夾角的余弦值的絕對(duì)值就為直線與平面夾角的正弦值.
試題解析：(1) 是直棱柱

又

又，



（2）
直線與平面夾角即直線與平面夾角
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸，
設(shè),,,,,則，，

，即

，
設(shè)平面的一個(gè)法向量


，，

直線與平面夾角的正弦值.
考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理；2.向量法求空間角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且

（I）求證：EF∥平面BDC1；
（II）求二面角E－BC1－D的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：四邊形是梯形，,,三角形是等邊三角形，且平面 平面，,，

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:∥平面；
(Ⅱ)求異面直線與所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；
（Ⅱ）當(dāng)異面直線AC，C1E 所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1-A1B1E的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，D、E分別為、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，且

(I)證明：EF∥平面ABC；
(Ⅱ)若，，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐中,⊥底面,,,.

(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積.

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