Question

設(shè)函數(shù)

（1）若關(guān)于x的不等式在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）設(shè)，若關(guān)于x的方程至少有一個解，求p的最小值．

（3）證明不等式：

 

Answer 1

（1）（2）p的最小值為0（3）見解析

【解析】

試題分析：

(1)存在性問題,只需要即可,再利用導(dǎo)數(shù)法求解f(x)的最大值(即求導(dǎo)，求單調(diào)性，求極值9與端點(diǎn)值比較得出最值).

(2) p的最小值為函數(shù)g(x)的最小值,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即可(即求導(dǎo)，求單調(diào)性，求極值9與端點(diǎn)值比較得出最值).

(3)利用第二問結(jié)果可以得到與不等式有關(guān)的恒等式.令.把n=1,2,3,,得n個不等式左右相加，左邊利用對數(shù)除法公式展開即可用裂項(xiàng)求和法得到不等式的左邊,即證得原式

試題解析：

(1)依題意得

，而函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719165066213370/SYS201411171917029907823708_DA/SYS201411171917029907823708_DA.008.png">

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)

,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為 4分

(2) 則

顯然，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),則函數(shù)的最小值為

所以，要使方程至少有一個解，則，即p的最小值為0 8分

(3)由（2）可知： 在上恒成立

所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立

令，則 代入上面不等式得：

即， 即

所以，，，，，

將以上n個等式相加即可得到： 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù) 不等式 函數(shù)最值