Question

（2012•東城區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)M在AD上，正方形ABCD以AD為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角(0≤θ≤

π

3

)到AB₁C₁D的位置，同時(shí)點(diǎn)M沿著AD從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，

MN1

=

DC1

，點(diǎn)Q在MN₁上，在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q始終滿足|

QM

|=

1

cosθ

，記點(diǎn)Q在面ABCD上的射影為Q₀，則在運(yùn)動(dòng)過程中向量

BQ0

與

BM

夾角α的正切的最大值為

6

12

．

Answer 1

分析：該題先轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，而運(yùn)動(dòng)過程中向量

BQ0

與

BM

夾角α即為∠MBQ₀，設(shè)BP=x，x∈[0，3]，然而根據(jù)tan∠MBQ₀=tan（∠MBP-∠Q₀BP）建立關(guān)于x的函數(shù)，最后利用基本不等式求出最值．

解答：解：由題意可知∠QMQ₀=θ，Q₀與AD距離始終是MQ₀=|

QM

|×cosθ=1
畫出平面ABCD的圖形

在運(yùn)動(dòng)過程中向量

BQ0

與

BM

夾角α即為∠MBQ₀，
由題意可設(shè)BP=x，x∈[0，3]
tan∠MBQ₀=tan（∠MBP-∠Q₀BP）=

3 x - 2 x

1+ 3 x × 2 x

=

x

x2+6

=

1

x+ 6 x

≤

1

2 6

=

6

12

當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

時(shí)取等號(hào)
故答案為：

6

12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及正切的差角公式，同時(shí)考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題．