已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率
2
2
，直線l：x-y+
2
=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=4，證明：直線AB過定點N（-
1
2
，-l）．
分析：（I）由離心率為
2
2
得
c
a
=
2
2
，由直線l與圓相切得
2
12+(-1)2
=b，再由b2+c2=a2即可解得a，b值；
（Ⅱ）要證明直線AB過定點N（-
1
2
，-l），可證
NA
∥
NB
．設MA：y=k1x+1，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理可表示點A坐標，同理可得點B坐標，由向量共線的條件可證
NA
∥
NB
；
解答：解：（I）由已知得：
c
a
=
2
2
2
12+(-1)2
=b
b2+c2=a2
，解得
a=
2
b=1
，
故橢圓方程為：
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），設MA：y=k1x+1，
由
x2
2
+y2=1
y=k1x+1
得：(1+2k12)x2+4k1x=0，
則xA=xA+0=-
4k1
1+2k12
，所以yA=k1xA+1=
1-2k12
1+2k12
，
所以A（-
4k1
1+2k12
，
1-2k12
1+2k12
），同理可得B（-
4k2
1+2k12
，
1-2k22
1+2k22
），
所以
NA
=(
1
2
-
4k1
1+2k12
，1+
1-2k12
1+2k12
)=（
1+2k12-8k1
2(1+2k12)
，
2
1+2k12
），
NB
=(
1+2k22-8k2
2(1+2k22)
，
2
1+2k22
)，
所以
1+2k12-8k1
2(1+2k12)
•
2
1+2k22
-
2
1+2k12
•
1+2k22-8k2
2(1+2k22)
=
2(k12-k22)+8(k2-k1)
(1+2k12)(1+2k22)
=
2(k1-k2)(k1+k2-4)
(1+2k12)(1+2k22)
=0，
故
NA
∥
NB
，所以A、B、N三點共線，即直線AB過定點N（-
1
2
，-1）．
點評：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關系，考查向量在解析幾何中的應用，考查學生對問題的分析轉化能力，考查轉化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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