（2013•重慶）設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）
分析：由雙曲線的基本性質可知，直線A1B1和A2B2，關于x軸對稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°，否則不滿足題意．根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．
解答：解：由雙曲線的基本性質對稱軸是坐標軸，這時只須考慮雙曲線的焦點在x軸的情形．
因為有且只有一對相較于點O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，
所以直線A1B1和A2B2，關于x軸對稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．
可得
b
a
＞tan30°，即
b2
a2
＞
1
3
，
c2-a2
a2
＞
1
3
，所以e＞
2
3
3
．
同樣地，當
b
a
≤tan60°，即
b2
a2
≤3，所以e≤2．
所以雙曲線的離心率的范圍是(
2
3
3
，2]．
故選A．
點評：本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．
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[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π]
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π]
．

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