Question

（2013•唐山二模）函數(shù)f(x)=2sinπx-

3x-x2

所有零點的和等于（　　）

A．6

B．7.5

C．9

D．12

Answer 1

分析：函數(shù)的零點即方程2sinπx=

3x-x2

的解，即函數(shù)h（x）=2sinπx 與函數(shù)g（x）=

3x-x2

的圖象交點的橫坐標(biāo)，注意函數(shù)f（x）所有零點關(guān)于直線x=

3

2

對稱，
數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)f（x）所有零點的和．

解答：解：函數(shù)的零點即方程2sinπx=

3x-x2

的解，即函數(shù)h（x）=2sinπx 與函數(shù)g（x）=

3x-x2

的圖象交點的橫坐標(biāo)．
∵h(yuǎn)（0）=g（0），故兩函數(shù)的圖象都是從原點出發(fā)，（0，0）是一個交點，
由于函數(shù)g（x）的定義域為[0，3]，h（3）=g（3）=0，且兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線x=

3

2

對稱．
函數(shù)g（x）對應(yīng)的曲線方程為 (x-

3

2

)2+y²=

9

4

（ y≥0），表示一個半圓（用虛線畫），如圖中所示：
可見，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間[0，3]上有4個交點，且這些交點關(guān)于直線x=

3

2

對稱，而兩個關(guān)于直線x=

3

2

對稱的點的橫坐標(biāo)之和等于3，
故函數(shù)f（x）所有零點的和是6，
故選A．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．