Question

3．如圖，正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A₁B₁上，且EF=1，動點Q在棱CD上，P是棱AD中點，R是棱DD_l的中點，則以下結(jié)論：
①四面體PEFQ的體積為定值；
②異面直線PE與QF的所成角的大小為定值；
③過P點有且只有一條直線與直線BB₁和C₁D₁都平行；
④過P點有且只有一個平面與直線BB₁和C₁D₁都平行；
⑤過點B，P，R的平面截該正方體所得的截面是五邊形．
其中正確結(jié)論的序號是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的幾何特征，逐一分析五個命題的真假，可得答案．

解答 解：∵CD∥平面EFP，
∴Q到平面EFP的距離等于D到平面EFP的距離$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
而S_△EFP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴V_Q-EFP=$\frac{1}{3}$
故①正確，
建立如圖所示的坐標系，

設(shè)E點坐標為（2，m，2），F(xiàn)點坐標為（2，m+1，2），
則$\overrightarrow{PE}$=（1，m，2），$\overrightarrow{QF}$=（2，m，2），
故異面直線PE與QF的所成角的余弦值為：$\frac{{m}^{2}+6}{\sqrt{5+{m}^{2}}\sqrt{8+{m}^{2}}}$不是常量，
故②異面直線PE與QF的所成角的大小為定值，錯誤；
直線BB₁和C₁D₁不平行；
故③過P點有且只有一條直線與直線BB₁和C₁D₁都平行，錯誤；
過P點有且只有一個平面與前后表面都平行的平面直線BB₁和C₁D₁都平行；
故④正確；
過點B，P，R的平面與前表面和上表面不相交，
故該平面截該正方體所得的截面是四邊形，
故⑤錯誤．
故答案為：①④

點評 本題以命題的真假與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，棱錐的體積，異面直線夾角，空間直線與平面關(guān)系，難度中檔．