Question

已知函數(shù)
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)為f（x）奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．證明如下：…（1分）
證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則=．…（3分）
因為y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
當a=1時，=．
∴f（-x）===-=-f（x），…（8分）
此時，f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，所以，a=1．…（8分）
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因為在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，所以等價于不等式t²+2＞tk-t²對任意的t∈R恒成立，即不等式2t²-kt+2＞0對任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必須有△=k²-16＜0，即-4＜k＜4，所以實數(shù)k的取值范圍{k|-4＜k＜4}．…（12分）
分析：（1）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a-1=0，可得a=1，再進行驗證即可；
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．