Question

11．已知：（log_ax）′=$\frac{1}{xlna}$，f′（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f′（x）=0無(wú)解，且對(duì)?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）+f′（x）=t有解，則t的取值范圍是（　�。�

• A． [2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• B． （2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• C． [2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• D． （2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）

Answer 1

分析 方程f′（x）=0無(wú)解，可得f（x）是單調(diào)函數(shù)，由題意得對(duì)?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
f（x）-log₂₀₁₆x是定值，設(shè)f（x）=m+log₂₀₁₆x，可得f（x）為增函數(shù)，而m=2016時(shí)，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，因此m=2016．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵方程f′（x）=0無(wú)解，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0，
∴f（x）是單調(diào)函數(shù)，
由題意得對(duì)?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
又f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）-log₂₀₁₆x是定值，
設(shè)m=f（x）-log₂₀₁₆x，
則f（x）=m+log₂₀₁₆x，∴f（x）為增函數(shù)，
而m=2016時(shí)，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，
∴m=2016．
∴f（x）=2016+log₂₀₁₆x，
∵f（x）+f′（x）=t有解，
即2016+log₂₀₁₆x+$\frac{1}{xln2016}$=t有解．
t′=$\frac{1}{xln2016}-\frac{1}{{x}^{2}ln2016}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}ln2016}$，
可知：x=1時(shí)，函數(shù)t（x）取得極小值即最小值，t（1）=2016+$\frac{1}{ln2016}$．
∴t≥2016+$\frac{1}{ln2016}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)與方程的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．