Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R
（Ⅰ）當a=-$\frac{1}{2}$時，求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=-$\frac{1}{2}$時，分類討論，化為具體不等式，即可求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|a-$\frac{5}{2}$|，關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，化為a≤|a-$\frac{5}{2}$|，即可求實數(shù)a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）當a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，
x＜-$\frac{1}{2}$時，不等式化為-x+$\frac{5}{2}$-x-$\frac{1}{2}$＞4，∴x＜-1，∴x＜-1；
-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$時，不等式化為-x+$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$＞4，無解；
x＞$\frac{5}{2}$時，不等式化為x-$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$＞4，∴x＞3，∴x＞3；
綜上所述，不等式的解集為{x|x＜-1或x＞3}；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|a-$\frac{5}{2}$|，
∵關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，
∴a≤|a-$\frac{5}{2}$|，
∴a≤$\frac{5}{4}$，
∴實數(shù)a的最大值為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．