Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求異面直線PD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）先作出異面直線所成的角，再使用余弦定理即可求出．

解答：解：（1）取PD中點F，連接EF，AF，
∵E是PC的中點，∴EF

∥

.

1

2

DC，
又∵AB

∥

.

1

2

CD，∴EF

∥

.

AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD的中點H，連接AH、EH、AE、BH，
∵AB

∥

.

1

2

CD，∴AB

∥

.

CH，
∴四邊形ABCH為平行四邊形，∴BC

∥

.

AH．
令AB=1，
在Rt△ADH中，由勾股定理得AH=

22+12

=

5

．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，
∴PD=2

2

，AF=

1

2

PD=

2

．
∵四邊形ABHD為平行四邊形，AD⊥AB，
∴四邊形ABHD為矩形，∴AH=

12+12

=

2

．
由三角形的中位線定理可知：EH=

1

2

PD=

2

，
由以上作法可知：∠AHE或其補角即為異面直線PD與BC所成的角．
∵PA⊥AB，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AF．
又∵四邊形ABEF是平行四邊形，∴四邊形ABEF為矩形，
∴AE=

AF2+EF2

=

( 2 )2+12

=

3

．
在△AEH中，由余弦定理得cos∠AHE=

( 5 )2+( 2 )2-( 3 )2

2 5 2

=

10

5

．
因此異面直線PD與BC所成角的余弦值為

10

5

．

點評：熟練掌握線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理及異面直線所成的角是解題的關鍵．注意使用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理及性質(zhì)定理．