已知函數(shù)在區(qū)間(k+1,+∞)上存在極值.
(Ⅰ)求出實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)對于任意及滿足條件中的k值,不等式是否能恒成立?并說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)對函數(shù)求導可得可得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而可得函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.從而可得k+1<1,可求
(Ⅱ)不等式即為,利用函數(shù)的導數(shù)可求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間g(x)在上的最小值,只需g(x)min≥k可求
解答:解:(Ⅰ)因為,x>0,則,…(2分)
當0<x<1時,f(x>0);當x>1時,f(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,…(4分)
所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.則k+1<1,得k<0…(7分)
(Ⅱ)不等式即為 記,
=   …(9分)
令h(x)=x-lnx,則,當x∈[1,e]時h′(x)≥0,∴h(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
時h′(x)<0,∴h(x)在上單調(diào)遞減,[h(x)]min=h(1)=1>0則g(x)>0,
故g(x)在上單調(diào)遞增,…(12分)
,所以k≤0.…(14分)
由(Ⅰ)知k<0,故對于任意及滿足條件中的k值,不等式恒成立.…(15分)
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值,解題的關(guān)鍵是采用構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導數(shù)把函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,屬于函數(shù)知識的綜合性考查.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷(江西) 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),且
(1)求實數(shù)k和c的值;
(2)解不等式

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江西九江市等七校高三聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,最小值1,

(Ⅰ)求的值。

(Ⅱ)設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷(江西) 題型:解答題

(本小題滿分12分)

    已知函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),且

   (1)求實數(shù)k和c的值;

   (2)解不等式

                       

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式在區(qū)間(k+1,+∞)上存在極值.
(Ⅰ)求出實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)對于任意數(shù)學公式及滿足條件中的k值,不等式數(shù)學公式是否能恒成立?并說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案