Question

已知函數(shù)在區(qū)間（k+1，+∞）上存在極值．
（Ⅰ）求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于任意及滿足條件中的k值，不等式是否能恒成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28577.png' />，x＞0，則，…（2分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x＞0）；當(dāng)x＞1時(shí)，f^′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…（4分）
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．則k+1＜1，得k＜0…（7分）
（Ⅱ）不等式即為 記，
則= …（9分）
令h（x）=x-lnx，則，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)h′（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)h′（x）＜0，∴h（x）在上單調(diào)遞減，[h（x）]_min=h（1）=1＞0則g^′（x）＞0，
故g（x）在上單調(diào)遞增，…（12分）
則，所以k≤0．…（14分）
由（Ⅰ）知k＜0，故對(duì)于任意及滿足條件中的k值，不等式恒成立．…（15分）
分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得可得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而可得函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．從而可得k+1＜1，可求
（Ⅱ）不等式即為 記，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間g（x）在上的最小值，只需g（x）_min≥k可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值，解題的關(guān)鍵是采用構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合性考查．