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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是長方形，側棱底面，且，過D作于F，過F作交 PC于E.

（Ⅰ）證明：平面PBC；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）依據題設運用直線與平面垂直的判定定理推證; （Ⅱ）依據題設條件運用二面角的平面角的定義求解或運用向量的數量積公式求解：.

解法一：（Ⅰ）因為底面，所以，

由底面為長方形，有，而，

所以. 而，所以. ………………………2分

又因為，

所以平面. 而，所以. ………………………4分

又，，所以平面. ………………………6分

（Ⅱ）如圖1，在面內，延長與交于點，則是平面與平面

的交線. 由（Ⅰ）知，，所以. ………………………8分

又因為底面，所以. 而，所以.

故是面與面所成二面角的平面角， ………………………10分

在Rt△PDB中, 由 ,

故面與面所成二面角的余弦為. ………………………12分

解法二：如圖2, 由，所以是平面的一個法向量； ……………………………………8分

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個法向量 ……………………………………10分

設平面與平面所成二面角為則，

故面與面所成二面角的余弦為. ……………………………………12分

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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