Question

【題目】上海市松江區(qū)天馬山上的“護(hù)珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱“世界第一斜塔”．興趣小組同學(xué)實(shí)施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高：如圖，記O點(diǎn)為塔基、P點(diǎn)為塔尖、點(diǎn)P在地面上的射影為點(diǎn)H．在塔身OP射影所在直線上選點(diǎn)A，使仰角k∠HAP=45°，過O點(diǎn)與OA成120°的地面上選B點(diǎn)，使仰角∠HPB=45°（點(diǎn)A，B，O都在同一水平面上），此時(shí)測得∠OAB=27°，A與B之間距離為33.6米．試求：
（1）塔高（即線段PH的長，精確到0.1米）；
（2）塔身的傾斜度（即PO與PH的夾角，精確到0.1°）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)塔高PH=x，由題意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，

∴△PAH，△PBH均為等腰直角三角形，

∴AH=BH=x

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，

∴x= = =18.86

（2）解：在△BOH中，∠BOH=120°，

∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，

由 = ，

得OH= =2.28，

∴∠OPH=arctan =arctan =6.89°，

∴塔高18.9米，塔的傾斜度為6.8°

【解析】（1）由題意可知：△PAH，△PBH均為等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x= = =18.86；（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知： = ，OH= =2.28，則傾斜角∠OPH=arctan =arctan =6.89°．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．