Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+ 的導(dǎo)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）g（x）= +ax+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及極值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，令x=1，得：f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，
即f（0）=1，
∵f（0）= ，
∴f′（1）=e，
從而f（x）=ex﹣x+ x2 ，
∴f′（x）=ex+x﹣1，
又f′（x）=ex+x﹣1在R遞增，且f′（0）=0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
故x=0為極值點(diǎn)，
∴f（0）= ；
（Ⅱ）f（x）≥ x2+ax+bh（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，
得：h′（x）=ex﹣（a+1），
①當(dāng)a+1≤0時(shí)，h′（x）＞0，
故y=h（x）在x∈R上遞增，
x∈﹣∞時(shí)，h（x）→﹣∞與h（x）≥0矛盾，
②當(dāng)a+1＞0時(shí)，h′（x）＞0，
∴x＞ln（a+1），h′（x）＜0，
∴x＜ln（a+1），
故x=ln（a+1）時(shí)，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0），
令F（x）=x3﹣x2lnx（x＞0），則F′（x）=x（1﹣2lnx），
∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，F(xiàn)′（x）＜0，解得：x＞ ，
x= 時(shí)，F(xiàn)（x）max= ，
即當(dāng)a= ﹣1，b= 時(shí)，
（a+1）b的最大值為 ，
∴ 的最大值為：
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（1）=e，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性求出f（0）的值即可；（Ⅱ）令h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出 的最大值即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．