Question

已知向量

m

=（

3

，1），向量

n

是與向量

m

夾角為

π

3

的單位向量．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=（-

3

，1）共線，且

n

與

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夾角為鈍角，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）設

n

=(x，y)，由題意可得

x2+y2 =1 3 x+y=2cos π 3

，解得即可．
（2）由（1）和向量

n

與向量

q

=（-

3

，1）共線，可知

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
由于

n

與

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夾角為鈍角，可得

n

•

p

＜0且

n

與

p

不能反向共線，解得即可．

解答： 解：（1）設

n

=(x，y)，由題意可得

x2+y2 =1 3 x+y=2cos π 3

，
解得

x=0 y=1

或

x= 3 2 y=- 1 2

，
∴

n

=（0，1）或

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
（2）∵向量

n

與向量

q

=（-

3

，1）共線，
∴

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
∵

n

與

p

=（

3

x，

2x+1

x

）的夾角為鈍角，
∴

n

•

p

=

3

2

x-

2x+1

2x

＜0且

3

2

•

2x+1

x

+

3 x

2

≠0，
解得x＜-

1

3

或0＜x＜1，且x≠-1．
∴實數x的取值范圍是x＜-

1

3

或0＜x＜1，且x≠-1．．

點評：本題考查了向量的夾角公式、數量積運算、單位向量、向量共線定理，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．