如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA^平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),PA==AD==a.
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求證:平面PMC^平面PCD;
(3)若二面角P-MC-A==60°,求此棱錐的體積.
解:(1)取PD中點(diǎn)E,連NE、AE,則NE∥CD,NE==CD.從而NEAM,于是MN∥AE,故MN∥平面PAD. (2)PA^平面ABCDÞPA^CD,又CD^ADÞCD^平面PADÞCD^AEÞCD^MN. PA==AD==BC,AM==MBÞDPAM≌DCBMÞMP==MCÞMN^PCÞMN^平面PCDÞ平面PMC^平面PCD. (3)延長(zhǎng)CM、DA交于F,則AF==AD==a,作AH^CF于H,連PH,則ÐPHA是二面角P-MC-A的平面角,ÐPHA==60°,由PA==a,得AH==,由AF==a,AH==,得FH==a,FM==a,AM==a,從而AB==a,于是.
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