設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}滿足bn=，若{bn}為等差數(shù)列，求證：{an}也為等差數(shù)列.

證明見解析


解析:

證明  由題意有

a1+2a2+3a3+…+nan=bn，                             ①

從而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

=bn-1(n≥2),                                   ②

由①-②，得nan=bn-bn-1,

整理得an=,

其中d為{bn}的公差(n≥2).

從而an+1-an=-

==(n≥2).

又a1=b1，a2=

∴a2-a1=-b1==.

綜上，an+1-an=d（n∈N*）.

所以{an}是等差數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，有an≤
2
2
成立；
（2）設(shè)bn+1=
bn
an
，n∈N*，求證：數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)bn+1=anbn，n∈N*，試問{an}可能為等比數(shù)列嗎？若可能，請求出公比的值，若不可能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求證：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列，并求出其公差；
（Ⅱ）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果項(xiàng)數(shù)均為n（n≥2，n∈N+）的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}滿足ak-bk=k（1，2，…，n），且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，…，2n}，則稱數(shù)列{an}，{bn}是一對“n項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．
（Ⅰ）設(shè){an}，{bn}是一對“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，求a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值，并寫出一對“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”{an}，{bn}；
（Ⅱ）是否存在“15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”{an}，{bn}？若存在，試寫出一對{an}，{bn}；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對于確定的n，若存在“n項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，試證明符合條件的“n項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案