Question

有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側(cè)面（編號為①②③④⑤⑥）上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5．若一個側(cè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面，假定更換一個面需要100元，用ξ表示更換費用．
（1）求①號面需要更換的概率；
（2）求6個面中恰好有2個面需要更換的概率；
（3）寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的條件可以判斷本題是一個獨立重復(fù)試驗，由題意知①號面不需要更換的對立事件是①號面需要更換，根據(jù)對立事件的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知本題滿足獨立重復(fù)試驗，根據(jù)獨立重復(fù)試驗，得到6個面中恰好有2個面需要更換的概率．
（3）由題意知本題的變量符合二項分布，結(jié)合二項分布的概率公式得到分布列和期望，用公式來解比用一般的方法要簡單得多．
解答：解：（1）由題意知①號面不需要更換的對立事件是①號面需要更換，
∵①號面不需要更換的概率為，
∴①號面需要更換的概率為．
（2）根據(jù)獨立重復(fù)試驗，6個面中恰好有2個面需要更換的概率為
．
（3）∵ξ～，
又，，
，，
，，
，
∴維修一次的費用ξ的分布為：

∵ξ～，
∴元．
點評：本題考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．