已知函數(shù)f(x)=2sin(
1
3
x-
π
6
)，x∈R．
（1）求f(
5π
4
)的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+
π
2
)=
10
13
，f(3β+2π)=
6
5
，求cos
α+β
2
的值．
分析：（1）把
5π
4
代入f（x）即可得出；
（2）把3α+
π
2
，3β+2π分別代入f（x）化簡整理再利用平方關(guān)系，再利用兩角和的余弦公式、倍角公式即可得出．
解答：解：（1）f(
5π
4
)=2sin(
1
3
×
5π
4
-
π
6
)=2sin
π
4
=
2
．
（2）f(3α+
π
2
)=2sin[
1
3
(3α+
π
2
)-
π
6
]=2sinα=
10
13
，∴sinα=
5
13
．∵α∈[0，
π
2
]，∴cosα=
12
13
．
f(3β+2π)=2sin[
1
3
(3β+2π)-
π
6
]=2sin(β+
π
2
)=2cosβ=
6
5
，解得cosβ=
3
5
．∵β∈[0，
π
2
]，∴sinβ=
4
5
．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
12
13
×
3
5
-
5
13
×
4
5
=
16
65
．
∵α，β∈[0，
π
2
]，∴
α+β
2
∈[0，
π
2
]，∴cos
α+β
2
＞0，
∴cos
α+β
2
=
cos(α+β)+1
2
=
9
130
130
．
點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和的余弦公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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同步練習(xí)冊答案