Question

【題目】已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)F的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）若直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l相交于點(diǎn)M，在拋物線(xiàn)C上是否存在點(diǎn)P，使得直線(xiàn)PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，令，求出縱坐標(biāo)的值，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出直線(xiàn)PA，PM，PB的斜率表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得到一個(gè)等式，根據(jù)等式成立進(jìn)行求解即可.

解：（1）因?yàn)?/span>，在拋物線(xiàn)方程中，令，可得，

所以當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，解得，

拋物線(xiàn)的方程為.

（2）不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以.

聯(lián)立消去，得，

設(shè)，，則，，

若存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件，則，

即，

因?yàn)辄c(diǎn)均在拋物線(xiàn)上，所以.

代入化簡(jiǎn)可得，

將，代入整理可得

，即，

因?yàn)樯鲜綄?duì)恒成立，所以，解得，

將代入拋物線(xiàn)方程，可得，

于是點(diǎn)即為滿(mǎn)足題意的定點(diǎn).