Question

12．在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C₂；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₁，C₂交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A，B求|AB|

Answer 1

分析 （1）求出C₁的普通方程，設(shè)P（x，y），則M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$），將M坐標(biāo)代入C₁方程即得C₂方程；
（2）求出射線$θ=\frac{π}{3}$的參數(shù)方程，代入C₁普通方程，根據(jù)參數(shù)額幾何意義得出|OA|，根據(jù)C₂的定義可得|AB|=|OA|．

解答 解：（1）曲線C₁的普通方程為x²+（y-1）²=1．
設(shè)P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，∴M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$）．
∵M(jìn)是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，∴（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y}{2}-1$）²=1，即x²+（y-2）²=4．
∴點(diǎn)P的軌跡方程是x²+（y-2）²=4．
（2）射線$θ=\frac{π}{3}$的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）代入曲線C₁方程x²+（y-1）²=1得t²-$\sqrt{3}t$=0．
解得t₁=0，t₂=$\sqrt{3}$．∴|OA|=|t₁-t₂|=$\sqrt{3}$．
由曲線C₂的定義可知|OB|=2|OA|，∴|AB|=|OA|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．