Question

10．對(duì)于正整數(shù)k，記g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．設(shè)S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-S_n-1=4^n-1．

Answer 1

分析 由g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，將S_n分組，分成奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，由等差數(shù)列的求和公式，整理即可得到所求．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=$\frac{（1+{2}^{n}-1）•{2}^{n-1}}{2}$+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．
故答案為：4^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分組求和和分類討論思想方法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．