Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域?yàn)?span id="tbzphfh" class="MathJye">[

1

2

m，

1

2

n]，那么就稱y=f（x）為“好函數(shù)”．現(xiàn)有f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）是“好函數(shù)”，則k的取值范圍是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．(-∞，

  1

  4

  )
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：由題意可知f（x）在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，才為“好函數(shù)”，從而可構(gòu)造函數(shù)f(x)=

1

2

x，轉(zhuǎn)化為求loga(ax+k)=

1

2

x有兩異正根，k的范圍可求．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則若函數(shù)y=f（x）為“好函數(shù)”，
方程f(x)=

1

2

x必有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∵loga(ax+k)=

1

2

x?ax+k=a

x

2

?ax-a

x

2

+k=0，
∴方程t²-t+k=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，k∈(0，

1

4

)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點(diǎn)，利用方程解決，屬于難題．