Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點為F，過橢圓C中心的弦PQ長為2，且∠PFQ=90°，△PQF的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A₁、A₂分別為橢圓C的左、右頂點，S為直線$x=2\sqrt{2}$上一動點，直線A₁S交橢圓C于點M，直線A₂S交橢圓于點N，設S₁、S₂分別為△A₁SA₂、△MSN的面積，求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=丨OF丨=$\frac{1}{2}$丨PQ丨=1，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得b的值，a²=b²+c²=2，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設S點坐標，求直線A₁S及A₂S代入橢圓方程，求得M和N點坐標，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式的性質，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）弦PQ過橢圓中心，且∠PFQ=90°，則c=丨OF丨=$\frac{1}{2}$丨PQ丨=1，--------（2分）
不妨設P（x₀，y₀）（x₀，y₀＞0），
∴，△PQF的面積=$\frac{1}{2}$×丨OF丨×2y₀=y₀=1，則x₀=1，b=1，------------（4分）
a²=b²+c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；--------（5分）
（Ⅱ）設S（2$\sqrt{2}$，t），直線A₁S：x=$\frac{3\sqrt{2}}{t}$y-$\sqrt{2}$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{t}y-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
整理（$\frac{18}{{t}^{2}}$+2）y²-$\frac{12}{t}$y=0，解得y₁=$\frac{6t}{{t}^{2}+9}$，--------（7分）
同理，設直線A₂S：x=$\frac{\sqrt{2}}{t}$y+$\sqrt{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{t}y+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
得（$\frac{2}{{t}^{2}}$+2）y²+$\frac{4}{t}$y=0，解得y₁=-$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，--------（8分）
則$\frac{S_1}{S_2}$=丨$\frac{{t}^{2}+9}{{t}^{2}+3}$×$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$丨--------（10分）
≤$\frac{[\frac{（{t}^{2}+9）+（3{t}^{2}+3）}{2}]^{2}}{（{t}^{2}+3）^{2}}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，--------（11分）
當且僅當t²+9=3t²+3，即t=±$\sqrt{3}$時取“=”--------（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查橢圓與基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．