Question

我們把一系列向量a_i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，稱(chēng)之為向量列，記作{

an

}．已知非零的向量列滿(mǎn)足：

a1

=(x1，y1)，

an

=（x_n，y_n）=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）證明數(shù)列{|

an

|}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θ_n表示向量

an-1

，

an

的夾角的弧度數(shù)（n≥2），若b_n=

π

4n(n-1)θn

，S_n=b₂+b₃+…+b_n，求S_n；
（3）設(shè)

a1

=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

中所有與

a1

共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，記為

d1

，

d2

，…，

dn

，…，令

ODn

=

d1

+

d2

+…+

dn

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列{D_n}的極限點(diǎn)D的坐標(biāo)．（注：若點(diǎn)D_n坐標(biāo)為（t_n，v_n），

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

vn=v，則點(diǎn)D（t，v）為點(diǎn)列{D_n}的極限點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合,數(shù)列的極限

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）得出|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

，運(yùn)用等比數(shù)列的定義判斷，（2）化簡(jiǎn)得出b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，裂項(xiàng)求解，（3）根據(jù)向量的平行得出t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

，求解即可．

解答： 解：（1）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

|

an-1

|，
∵|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

∴數(shù)列{|

an

|}是等比數(shù)列
（2）∵cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 || an |

=

(xn-1，yn-1)• 1 2 (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)

2 2 | an-1 |2

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

，
∴θ_n=

π

4

，n≥2，
∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

n

，n≥2，
（3）

a1

=(1，2)，

a2

=(-

1

2

，

3

2

)，

a3

=(-1，

1

2

)，

a4

=(-

1

2

，

3

2

)，

a5

=(-

1

4

，-

1

2

)=-

1

4

(1，2)
∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥…
即

dn

=

a4n-3

，

dn

=(-

1

4

)n-1(1，2)
∴t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]
∴

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

∴極限點(diǎn)D的坐標(biāo)(

4

5

，

8

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，裂項(xiàng)的思想，屬于綜合題．