Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，），且離心率等于，過(guò)點(diǎn)M（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），橢圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題設(shè)條件求出b²和a²，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，由此解得或．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根與系數(shù)和關(guān)系和，能夠求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1分）
因?yàn)樗�的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，），所以b²=2，由離心率等于，
得=，解得a²=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）
（Ⅱ）由已知設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，解得或（2分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
且，由
得（2分）
于是，
整理得，
解得或，又，
但時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，舍去，所以直線l的方程是（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐軸線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．