Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的點，且CE=

1

4

CC1．
（1）求三棱錐C-BED的體積；
（2）求證：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）由等體積法可得V_C-BED=V_E-BCD=

1

3

(

1

2

•BC•CD)•CE，把數(shù)據(jù)代入運算．
（2）先證明BE⊥面A₁B₁C，可得 BE⊥A₁C，再由由三垂線定理可得BD⊥A₁C，得到 A₁C⊥平面BDE．

解答：解：（1）V_C-BED=V_E-BCD=

1

3

(

1

2

•BC•CD)•CE=

1

3

(

1

2

×1×1)×

2

4

=

1

12

．
（2）證明：長方體中，∵A₁B₁⊥面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BE，由題意得 B₁C⊥BE，故BE 垂直于面A₁B₁C內(nèi)的
兩條相交直線 A₁B₁和B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C．
正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A₁C在底面內(nèi)的射影，由三垂線定理可得BD⊥A₁C．
這樣，A₁C垂直于平面BDE內(nèi)的兩條相交直線BE 和BD，故A₁C⊥平面BDE．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明BE⊥A₁C是解題的關(guān)鍵．