(1)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函數(shù)f(x)的最大值；
(2)設ak，bk(k=1，2，…，n)均為正數(shù)，
證明：①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則；
②若b1+b2+…+bn=1，則。
解：(1)f(x)的定義域為(0，+∞)，
令，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)內是增函數(shù)；
當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)在(1，+∞)內是減函數(shù)；
故函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0．
(2)①由(1)知，當x∈(0，+∞)時，有f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1，
∵ak，bk＞0，從而有l(wèi)nak≤ak-1，得bklnak≤akbk-bk(k=1，2，…，n)．
求和得，
，
∴，即，
∴。
②(i)先證，
令(k=1，2，…，n)，
則，
于是由①得，即，
∴；
(ii)再證，
記，令(k=1，2，…，n)，
則，
于是由(1)得，
即，
∴；
綜合(i)(ii)，②得證．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

1已知函數(shù)f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)，g(x)=2
b(1+x2)
，a，b∈R，且g（0）=2，f(
3
)=2-
3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列性質：①h（x+2）=-h（x）對一切實數(shù)x恒成立；②當0≤x≤1時h(x)=
1
2
[-f(x)+log2g(x)]．
（�。┣螽�-1≤x＜3時，函數(shù)h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-
1
2
在區(qū)間[0，2012]上的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b),a、b∈R,且f(2)=p,f(3)=q,求f(36)的值;

(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法：

    設A=[0, 1],若不等式21-x-a＞0在A上有解,求實數(shù)a的取值范圍。

    解：由已知可得  a ＜ 21-x

        令f(x)= 21-x ,∵不等式a ＜21-x在A上有解,

        ∴a ＜f(x)在A上的最大值.

        又f(x)在[0,1]上單調遞減，f(x)max =f(0)=2.  ∴實數(shù)a的取值范圍為a＜2.

研究學習以上問題的解法，請解決下面的問題：

(1)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1)，求f(x)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域A；

(2)對于(1)中的A，設g(x)=，x∈A,試判斷g(x)的單調性(寫明理由，不必證明)；

(3)若B ={x|＞2x+a–5}，且對于(1)中的A，A∩B≠F，求實數(shù)a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標高三數(shù)學函數(shù)的圖象奇偶性、周期性專項訓練（河北） 題型：解答題

若函數(shù)f(x)對定義域中任意x均滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則稱函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱．

(1)已知函數(shù)f(x)＝的圖象關于點(0,1)對稱，求實數(shù)m的值；

(2)已知函數(shù)g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的圖象關于點(0,1)對稱，且當x∈(0，＋∞)時，g(x)＝x2＋ax＋1，求函數(shù)g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的條件下，當t＞0時，若對任意實數(shù)x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年高考試題（新課標全國卷）解析版（文） 題型：選擇題

 [番茄花園1] 已知函數(shù)f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，則abc的取值范圍是

（A）（1，10）  （B）(5，6)  （C）(10，12)  （D）(20，24)

 

 

二填空題：本大題共4小題，每小題5分。

 

 [番茄花園1]1.

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