Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
③函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：逐個(gè)驗(yàn)證：①為函數(shù)對(duì)稱區(qū)間的解析式的求解；②為不等式的求解，分段來解，然后去并集即可；③涉及函數(shù)的零點(diǎn)，分段來解即可，注意原點(diǎn)；④實(shí)際上是求函數(shù)的取值范圍，綜合利用導(dǎo)數(shù)和極值以及特殊點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象可得范圍．

解答：解：設(shè)x＞0，則-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1），又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x）=e^-x（-x+1），所以f（x）=e^-x（x-1），故①錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=e^-x（x-1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），故②正確；
令e^x（x+1）=0可解得x=-1，當(dāng)e^-x（x-1）=0時(shí)，可解得x=1，又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（0）=0，故函數(shù)的零點(diǎn)由3個(gè)，故③錯(cuò)誤；
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，正確，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)f（x）=e^-x（x-1），圖象過點(diǎn)（1，0），又f′（x）=e^-x（2-x），
可知當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，，f′（x）＜0，故函數(shù)在x=2處取到極大值f（2）=

1

e2

，且當(dāng)x趨向于0時(shí)，函數(shù)值趨向于-1，
當(dāng)當(dāng)x趨向于+∞時(shí)，函數(shù)值趨向于0，
由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可作出函數(shù)f（x）的圖象，

可得函數(shù)-1＜f（x）＜1，故有|f（x₁）-f（x₂）|＜2成立．
綜上可得正確的命題為②④，
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．