Question

17．設(shè)拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B（A右B左）．
（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），一個(gè)切點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，求拋物線C的方程；
（2）若點(diǎn)M（x₀，y₀）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點(diǎn)，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，m）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線方程可以得到$y=\frac{1}{2p}{x}^{2}$，求導(dǎo)數(shù)得到$y′=\frac{x}{p}$，從而得到過(guò)點(diǎn)B$（{x}_{0}，\frac{1}{2}）$的切線MB斜率為$\frac{{x}_{0}}{p}=\frac{\frac{1}{2}-（-1）}{{x}_{0}-1}$，而可得到$p={{x}_{0}}^{2}$，從而可解出p的值，這便可得出拋物線C的方程；
（2）可設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而可求出過(guò)點(diǎn)A的切線斜率為$\frac{{x}_{1}}{p}$，從而得出過(guò)A的切線方程為$y=\frac{{x}_{1}}{p}x-{y}_{1}$，該切線過(guò)點(diǎn)M（x₀，y₀），從而得到${y}_{0}=\frac{{x}_{1}}{p}{x}_{0}-{y}_{1}$；而同理切線過(guò)點(diǎn)B時(shí)可以得到${y}_{0}=\frac{{x}_{2}}{p}{x}_{0}-{y}_{2}$，從而得出直線AB的方程為${y}_{0}=\frac{{x}_{0}}{p}x-y$，根據(jù)題意有y₀=-m，這便可得到直線AB的方程為$-m=\frac{{x}_{0}}{p}x-y$，從而得出點(diǎn)（0，m）滿足該方程，即說(shuō)明直線AB恒過(guò)點(diǎn)（0，m）．

解答 解：（1）由拋物線方程得，$y=\frac{1}{2p}{x}^{2}$，$y′=\frac{x}{p}$；
根據(jù)題意，設(shè)$B（{x}_{0}，\frac{1}{2}）$，B在拋物線上；
∴${{x}_{0}}^{2}=p$；
∴${k}_{MB}=\frac{\frac{1}{2}-（-1）}{{x}_{0}-1}=\frac{{x}_{0}}{p}=\frac{{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$；
∴解得x₀=-2，p=4；
∴拋物線C的方程為x²=8y；
（2）設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∴過(guò)A的切線斜率為$\frac{{x}_{1}}{p}$，切線方程為：$y-{y}_{1}=\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，即$y=\frac{{x}_{1}}{p}x-{y}_{1}$；
又切線過(guò)點(diǎn)（x₀，y₀），∴${y}_{0}=\frac{{x}_{1}}{p}{x}_{0}-{y}_{1}$；
同理，切線過(guò)點(diǎn)B時(shí)得，${y}_{0}=\frac{{x}_{2}}{p}{x}_{0}-{y}_{2}$；
即點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足方程${y}_{0}=\frac{{x}_{0}}{p}x-y$，該方程便為直線AB的方程；
又M（x₀，y₀）為直線y=-m上任意一點(diǎn)；
∴y₀=-m；
∴直線AB的方程為$-m=\frac{{x}_{0}}{p}x-y$；
∴x=0時(shí)，y=m；
即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，m）．

點(diǎn)評(píng) 考查過(guò)函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線斜率和函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求過(guò)這兩點(diǎn)直線的斜率的計(jì)算公式，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系，以及直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程便說(shuō)明該點(diǎn)在該直線上．