Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為常數(shù)）在x=ln2處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²+1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的f′（x）=e^x-a．通過f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）求出f（x）的最小值，化簡f（x）≥1-ln4．構(gòu)造g（x）=e^x-x²-1，通過g′（x）＞0．判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到g（x）＞g（0），推出結(jié)果．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（ln2）=2-a=-0，所以a=2，
所以f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（2）證明：由（1）知f（x）min=f（ln2）=eln2-2ln2-1=1-ln4．
所以f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0．
令g（x）=e^x-x²-1，則g'（x）=e^x-2x＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，即e^x＞x²+1．…（8分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．