Question

如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足，．
（1）證明：EB⊥FD；
（2）已知點Q，R為線段FE，FB上的點，，，求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明EB⊥FD，我們可以轉化為證明EB⊥平面BDF，由，，我們易得△EBF為直角三角形，即EB⊥BF，又由E是半圓的中點，則其圓心角∠EBD=90°，結合線面垂直的判斷定理和定義，不難給出結論．
（2）要求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值，關鍵是要根據二面角的定義，先求出二面角的平面角，根據（1）的結論和已知我們可得DG⊥平面BDF，DG⊥DR，DG⊥DQ，即∠RDB是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到結論．
解答：（1）證明：連接CF，因為是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，所以EB⊥AC．
在RT△BCE中，．
在△BDF中，，△BDF為等腰三角形，且點C是底邊BD的中點，故CF⊥BD．
在△CEF中，，所以△CEF為Rt△，且CF⊥EC．
因為CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB?平面BED，∴CF⊥EB．
因為EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD?平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）解：設平面BED與平面RQD的交線為DG．
由，，知QR∥EB．
而EB?平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB?平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，，，．
在△BDR中，由知，，
由余弦定理得，=
由正弦定理得，，即，．
故平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為．
點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠RDB為平面BED與平面RQD所成二面角的平面角，通過解∠RDB所在的三角形求得∠RDB．其解題過程為：作∠RDB→證∠RDB是二面角的平面角→計算∠RDB，簡記為“作、證、算”．