（2012•泉州模擬）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）若點(diǎn)O到直線l的距離為
12
，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)．點(diǎn)B是以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)．試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明．
分析：法一：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x=1不符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），所以
|-k|
1+k2
=
1
2
，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切．設(shè)A（x0，y0），則
y
2
0
=4x0．因?yàn)閨BF|=|AF|=x0+1，所以B（-x0，0），由此能夠證明直線AB與拋物線相切．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，設(shè)A（x0，y0），則|AF|=x0+1，
y
2
0
=4x0．設(shè)圓的方程為：(x-1)2+y2=(x0+1)2由此能夠證明直線AB與拋物線相切．
解答：解法一：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），…（1分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x=1不符合題意．…（2分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，
|-k|
1+k2
=
1
2
，解得：k=±
3
3
．…（5分）
故直線l的方程為：y=±
3
3
(x-1)，即x±
3
y-1=0．…（6分）
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，證明如下：…（7分）
（法一）：設(shè)A（x0，y0），則
y
2
0
=4x0．…（8分）
因?yàn)閨BF|=|AF|=x0+1，所以B（-x0，0）．…（9分）
所以直線AB的方程為：y=
y0
2x0
(x+x0)，
整理得：x=
2x0y
y0
-x0…（1）
把方程（1）代入y2=4x得：y0y2-8x0y+4x0y0=0，…（10分）
△=64
x
2
0
-16x0
y
2
0
=64
x
2
0
-64
x
2
0
=0，
所以直線AB與拋物線相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，證明如下：…（7分）
設(shè)A（x0，y0），則|AF|=x0+1，
y
2
0
=4x0．…（8分）
設(shè)圓的方程為：(x-1)2+y2=(x0+1)2，…（9分）
當(dāng)y=0時(shí)，得x=1±（x0+1），
因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸負(fù)半軸，所以B（-x0，0）．…（9分）
所以直線AB的方程為y=
y0
2x0
(x+x0)，
整理得：x=
2x0y
y0
-x0…（1）
把方程（1）代入y2=4x得：y0y2-8x0y+4x0y0=0，…（10分）
△=64
x
2
0
-16x0
y
2
0
=64
x
2
0
-64
x
2
0
=0，
所以直線AB與拋物線相切．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．
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12
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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