Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為4，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與橢圓C相交于P，Q兩點，是否存在這樣的實數(shù)k，使得以PQ為直徑的圓過原點，若存在，請求出k的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出列出求解橢圓的幾何量求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）假設(shè)存在這樣的實數(shù)k，使其滿足題意，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，利用韋達定理，以及$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{S_{△OAB}}=\frac{1}{2}ab=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\\ c=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$------------------------------------------------------------（5分）
（2）假設(shè)存在這樣的實數(shù)k，使其滿足題意，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，----------------------------------------------------------------------（6分）
消去y得：（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由題意得：x₁、x₂是此方程的解
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{12}{{1+4{k^2}}}$∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=\frac{{1-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$--------------------------------------------------------（9分）
因為PQ為直徑的圓過原點，
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{12}{{1+4{k^2}}}+\frac{{1-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}=0$
解得${k^2}=-\frac{11}{16}$，所以假設(shè)不成立，
所以，不存在這樣的實數(shù)k，使得以PQ為直徑的圓過原點．-------------------------（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力．