Question

10．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．
（1）若?x∈R使f（x+a）-f（x）=2A成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值是$\frac{π}{2}$；
（2）若A=1，則f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）的最大值為1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x+a）=A，f（x）=-A，故a的最小值為f（x）的半周期．
（2）使用和角公式化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出最大值．

解答 解：（1）∵f（x）的最大值為A，最小值為-A，f（x+a）-f（x）=2A，
∴f（x+a）=A，f（x）=-A，∴a的最小值為f（x）的半周期．
∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值為$\frac{π}{2}$．
（2）f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}+$φ），f（x）=sin（2x+φ）．
∴f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}+$φ）-sin（2x+φ）=$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）-sin（2x+φ）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）-$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$+φ）．
∴f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）的最大值為1．
故答案為$\frac{π}{2}$，1．

點(diǎn)評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．