Question

已知函數(shù)f(x)=x+

4

x

，（x≠0）
（1）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)在（2，+∞）上的單調性；
（3）解不等式f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，首先應求解函數(shù)的定義域，然后在定義域上任設一數(shù)看此數(shù)對應函數(shù)值與此數(shù)相反數(shù)對應函數(shù)值的關系即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義，首先應在所給區(qū)間上任設兩個數(shù)并規(guī)定大小，然后通過作差法分析獲得兩數(shù)對應函數(shù)值之間的大小關系即可；
（3）首先要將抽象不等式結合函數(shù)的奇偶性進行轉化，然后根據(jù)函數(shù)的單調性找到自變量之間的不等關系，注意定義域優(yōu)先原則．

解答：解：
（1）任意x∈{x|x≠0}，
f(-x)=-x-

4

x

=-f(x)，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（2，+∞）
則f(x1)-f(x 2)=x1-x 2+(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（2，+∞），
∴x₁•x₂＞4，x₁•x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函數(shù)在（2，+∞）上為增函數(shù)
（3）因為2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，
∴2x²-5x+8＜x²-x+3，
∴-5＜x＜-1
所以不等式的解集為：（-5，-1）．

點評：本題考查的是函數(shù)單調性與奇偶性的判斷和應用問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)性質的定義理解、作差法以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．