已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y+2=4xy,若對任意滿足條件的x,y都有(x+y)2+1-m(x+y)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
A、(-∞,
5
2
]
B、[
5
2
,+∞)
C、(-∞,
3
2
]
D、[
3
2
,+∞)
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:由(x+y)2+1-m(x+y)≥0可得m≤(x+y)+
1
x+y
,再令t=x+y,則a≤t+
1
t
恒成立,求出t的范圍,問題即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=t+
1
t
的最小值問題.
解答: 解:因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足x+y+2=4xy,而4xy≤(x+y)2,代入原式得(x+y)2-(x+y)-2≥0,解得(x+y)≥2或(x+y)≤-1(舍去)
由(x+y)2+1-m(x+y)≥0恒成立得m≤(x+y)+
1
x+y
恒成立,令t=x+y∈[2,+∞),
則問題轉(zhuǎn)化為m≤t+
1
t
,t∈[2,+∞)
時(shí)恒成立,因?yàn)楹瘮?shù)y=t+
1
t
在[1,+∞)遞增,
所以要使原式成立只需m≤(t+
1
t
)min
=2+
1
2
=
5
2

故選A.
點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵是將x+y看成一個(gè)整體,構(gòu)造出函數(shù)y=t+
1
t
,(t≥2)從而求出其最值解決問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

SC為球O的直徑,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=2,∠ASC=∠BSC=
π
4
,若棱錐A-SBC的體積為
4
3
3
,則球O的體積為( 。
A、
3
B、
32π
3
C、27π
D、4
3
π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若銳角△ABC中,C=2B,則
c
b
的取值范圍是(  )
A、(0,2)
B、(
3
,2)
C、(
2
,
3
D、(
2
,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某程序框圖如圖所示,現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù),則可以輸出的函數(shù)是( 。
A、f(x)=x2+1
B、f(x)=cosx
C、f(x)=ex
D、f(x)=
1
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an+1=
1+an
1-an
(n∈N*),且a2=-3,則a2014=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(a+b,c)與
n
=(cosA+cosB,cosC)共線,其中a、b、c為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊.
(1)求角C的大;
(2)若△ABC的面積為
3
,求|m|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

證明:函數(shù)f(x)=
x
x+2
在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=n2-n,正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中,b2=a3,bn+3bn-1=4bn2(n≥2,n∈N+),則bn=( 。
A、2n-1
B、2n
C、2n-2
D、22n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=4x-m2x+m有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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